Question

2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2$\sqrt{3}$，以AB为边向左作菱形ABDE，使∠BAE=60°，AD，BE相交于点O，则CO的长是（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 作OH⊥BC于H．，取AB的中点K，连接OK、CK．首先证明B、O、C、A四点共圆，推出∠OCB=30°，设OH=x，则OC=2x，HC=$\sqrt{3}$x，易知AB=$\sqrt{13}$，OB=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，在Rt△OBH中，根据OB²=BH²+OH²，列出方程即可解决问题．

解答 解：作OH⊥BC于H．，取AB的中点K，连接OK、CK．

∵四边形ABCD是菱形，∠BAE=60°
∴AD⊥BE，△ABE是等边三角形，
∴∠AOB=∠ACB=90°，∠ABE=60°
∵BK=KA，
∴OK=KB=AK=CK，
∴B、O、C、A四点共圆，
∴∠OCH=∠OAB=30°，
设OH=x，则OC=2x，HC=$\sqrt{3}$x，
易知AB=$\sqrt{13}$，OB=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
在Rt△OBH中，∵OB²=BH²+OH²，
∴（$\frac{\sqrt{13}}{2}$）²=x²+（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x）²，
解得x=$\frac{7}{4}$或$\frac{9}{4}$（舍弃），
∴OC=2x=$\frac{7}{2}$，
故选A．

点评 本题考查菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．