Question

如图（1），在△ABC中，AE=EB，AF=FC，则EF与BC存在以下关系：EF∥BC，；将AC沿BC方向平移到DH，得图（2），沿CB方向平移到DH得图（3），图（2）中AD与BH存在关系：EF∥AD，；，那么在图（3）中是否有类似于图（1）（2）中的结论，请把猜想的结论填在方框内，并就图（3）的结论加以证明．

Answer 1

解：（1）理由如下：延长EF到点D，使FD=EF，
在△AEF与△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE=DC，∠D=∠AEF，
∴CD∥AB，
∵AE=EB，
∴DC=EB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴ED∥BC，且ED=BC，
∴EF∥BC，且EF=BC；

（2）如图②所示，根据（1）得，EG∥BC，且EG=BH，
根据题意得，AD∥BC，CD∥AH，
∴四边形ADCH是平行四边形，
∵EG∥BC，
∴FG=（AD+CH），
∴EF=EG-FG=BH-（AD+CH）=（BH-CH）-AD=（BC-AD）；
如图③所示，根据（1）得，EG∥BC，且EG=BH，
根据题意得，AD∥BC，CD∥AH，
∴四边形ADCH是平行四边形，
∵EG∥BC，
∴FG=（AD+CH），
∴EF=EG+FG=BH+（AD+CH）=（BH+CH）+AD=（BC+AD）．
分析：（1）延长EF到点D，使FD=EF，然后利用边角边定理证明△AEF与△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DC，对应角相等可得∠D=∠AEF，再根据内错角相等两直线平行可得CD∥AB，从而证明四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可得证；
（2）图②中，根据（1）的结论可得EG∥BH且EG=BH，再根据平移可知四边形ADCH是平行四边形，且FG∥BC，从而得到FG=（AD+CH），最后根据EF=EG-FG整理即可得解；
图③中，同理可得EF=EG+FG，然后整理即可得解．
点评：本题考查了三角形中位线的证明，以及三角形中位线定理的拓广，作出辅助线找出中位线EF的2倍长度，构造出平行四边形并进行证明四边形BCDE是平行四边形是解决本题的关键．