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    已知：关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m2+m-2=0．
    （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
    （2）若方程的两个实数根x1，x2满足|x1-x2|=1+
    m+2m-1
    ，求m的值．
    分析：（1）要证明方程总有两个不相等的实数根就是证明其判别式永远都是一个正数；
    （2）首先根据一元二次方程的求根公式求出方程的两个根，然后可以求出|x1-x2|=3，再利用已知条件即可得到关于m的方程，解方程即可解决问题．
    解答：（1）证明：∵△=[-（2m+1）]2-4（m2+m-2）=4m2+4m+1-4m2-4m+8=9＞0
    ∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根；

    解：（2）由原方程可得x=
    (2m+1)±
    		9
    2
    =
    (2m+1)±3
    2

    ∴x1=m+2．x2=m-1，
    ∴|x1-x2|=3，
    又∵|x1-x2|=1+
    m+2
    m-1
    ，
    ∴3=1+
    m+2
    m-1
    ，
    ∴m=4
    经检验：m=4符合题意．
    ∴m的值为4．
    点评：此题有一定的综合性，主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，利用求根公式正确求得方程的根是解题关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+n）x+m+n=0①．
    （1）求证：方程①有两个实数根；
    （2）求证：方程①有一个实数根为1；
    （3）设方程①的另一个根为x1，若m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函数y=mx2-（2m+n）x+m+n的解析式；
    （4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    5、已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（　　）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，m＜5且m为整数．
    （1）求m的值；
    （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x2-2（m+1）x+m2的图象沿x轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；
    （3）当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，求b的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：关于x的一元二次方程x2-2x+c=0的一个实数根为3．
    （1）求c的值；
    （2）二次函数y=x2-2x+c，当-2＜x≤2时，y的取值范围；
    （3）二次函数y=x2-2x+c与x轴交于点A、B（A左B右），顶点为点C，问：是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍后得到△DEF（即△EDF∽△ABC，相似比为2），使得点D、E恰好在二次函数上且DE∥AB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•延庆县二模）已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+2）x+m-1=0
    （1）若此方程有实根，求m的取值范围；
    （2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根；
    （3）在（2）的前提下，二次函数y=mx2-（2m+2）x+m-1与x轴有两个交点，连接这两点间的线段，并以这条线段为直径在x轴的上方作半圆P，设直线l的解析式为y=x+b，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围．

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