Question

设方程x²-x-1=0的两个根为a、b，求满足f（a）=b，f（b）=a，f（1）=1的二次函数f（x）．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：利用一元二次方程的根与系数的关系求得ab=-1，a+b=1，a²+b²=（a+b）²-2ab=3．根据题意知，二次函数经过点（a，b），（b，a），（1，1）．把它们代入二次函数解析式f（x）=kx²+dx+c（k≠0），列出方程组，通过解方程组可以求得k、d、c的值．

解答：解：∵方程x²-x-1=0的两个根为a、b，
∴ab=-1，a+b=1，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=3．
设f（x）=kx²+dx+c（k≠0）
∵f（a）=b，f（b）=a，f（1）=1，
∴

ka2+da+c=b，① kb2+db+c=a，② k+d+c=1，③

，
由①-②，得（a+b）k+d=-1，即k+d=-1，④
由①+②，得k（a²+b²）+d（a+b）+2c=a+b，即3k+d+2c=1，⑤
把④代入③解得c=2．
则由⑤得3k+d=-3，⑥
由③⑥解得，k=-1，d=0．
故该二次函数是f（x）=-x²+2．

点评：本题考查函数的解析式的求解及其常用方法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．