Question

10．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A的坐标为（2，0），过点A作AA₁⊥OB，垂足为点A₁，过A₁作A₁A₂⊥x轴，垂足为点A₂；再过点A₂作A₂A₃⊥OB，垂足为点A₃；再过点A₃作A₃A₄⊥x轴，垂足为点A₄…；这样一直作下去，则A₂₀₁₇的横坐标为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁵
• B． $\frac{3}{2}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁶
• C． $\frac{3}{2}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁷
• D． $\frac{3}{2}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁸

Answer 1

分析 根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OA_n=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿOA=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ，依此规律即可解决问题．

解答 解：∵∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴OA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=$\sqrt{3}$，OA₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₁═$\frac{3}{2}$，OA₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₂═$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，OA₄=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₃═$\frac{9}{8}$，…，
∴OA_n=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿOA=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ．
∴OA₂₀₁₈=2×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁸=$\frac{3}{2}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁶
故选B．

点评 本题考查了规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”结合图形找出变化规律OA_n=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿOA=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ是解题的关键．