Question

武汉欢乐谷要建一个圆形喷水池，如图所示，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圆喷水头，时喷出的水柱在离池中心4m处达到最高，高度为6m，另外还要再喷水池的中心设计一个装饰水坛，使各方向喷来的水柱在此汇合，已知装饰水坛的高度为
m．
（1）建立平面直角坐标系，使抛物线水柱最高坐标为（4，6），装饰水坛最高坐标为（0，），求圆形喷水池的半径．
（2）为防止游客戏水出现危险，公园再喷水池内设置了一个六方形隔离网．如图，若该六边形被圆形喷水池的直径AB平分为两个相同的等腰梯形，那么，当该等腰梯形的腰AD长为多少时，该梯形周长最大？

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-h）²+k，
由题意可知：h=4，k=6，
∴y=a（x-4）²+6，
∵装饰水坛最高坐标为（0，），
∴当x=0时，y=，
代入得：=16a+6，
解得：a=-，
∴y=-（x-4）²+6，
令y=0，则-（x-4）²+6=0，
解得：x=10或-2（舍），
∴圆形喷水池的半径为10米；

（2）连接OD，则三角形AOD是等边三角形，由题意可知当六边形的六个顶点都在圆上时，则梯形周长最大，
∵AD=OD=AO=10米，
∴梯形ADCB的周长为10+10+10+20=50米，
∴该等腰梯形的腰AD长为10米时，该梯形周长最大为50米．
分析：（1）根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式得出二次函数解析式，令y=0，则-（x-4）²+6=0，求出x的值即可得出答案．
（2）连接OD，则三角形AOD是等边三角形，由题意可知当六边形的六个顶点都在圆上时，则梯形周长最大，计算即可．
点评：此题主要考查了二次函数的实际应用，根据实际问题运用二次函数最大值求二次函数解析式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．