Question

已知直线y=2x与反比例函数图象y=

k

x

（x＞0）交于点A（1，2），若P点在x轴上，且△OAP是等腰三角形，则P点的坐标是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：分三种情况讨论：①当OA=OP时，在x轴上存在点P，使△OAP是等腰三角形，分别为以O为圆心，OA长为半径画弧，与x轴交于P₁与P₂两点，此时△OAP₁与△OAP₂都为等腰三角形；②当OA=AP时，过A作AC⊥x轴，求出C的坐标，即可求得P₃的坐标；③当OP=AP时，作出线段OA的垂直平分线，与x轴交于P₄，△OAP₃为等腰三角形；分别求出坐标即可．

解答：解：①当OA=OP时，以O为圆心，OA长为半径画弧，与x轴交于P₁与P₂两点，此时△OAP₁与△OAP₂都为等腰三角形，
∵A（1，2），∴OA=

5

，
∴P₁（-

5

，0），P₂（

5

，0）；
②当OA=AP时，过A作AC⊥x轴，
∵OA=AP₃，∴OC=CP₃=1，
∴P₃（2，0）；
③当OP=AP时，作出线段OA的垂直平分线，与x轴交于P₄，此时AP₄=OP₄，△OAP₄为等腰三角形，
设AP₄=OP₄=a，则P₄C=OP₄-OC=a-1，AC=2，
在Rt△ACP₄中，根据勾股定理得：a²=（a-1）²+2²，即2a=5，
解得：a=2.5，
∴P₄（2.5，0），
综上，满足题意的P坐标为（-

5

，0）或（

5

，0）或（2，0）或（2.5，0）．
故答案为（-

5

，0）或（

5

，0）或（2，0）或（2.5，0）．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，以及待定系数法确定函数解析式，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．