如图.点A1(2.2)在直线y=x上.过点A1作A1B1∥y轴交直线y=$\frac{1}{2}$x于点B1.以点A1为直角顶点.A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1.再过点C1作A2B2∥y轴.分别交直线y=x和y=$\frac{1}{2}$x于A2.B2两点.以点A2为直角顶点.A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2-.按此规律进行下去.则等腰直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如图，点A₁（2，2）在直线y=x上，过点A₁作A₁B₁∥y轴交直线y=$\frac{1}{2}$x于点B₁，以点A₁为直角顶点，A₁B₁为直角边在A₁B₁的右侧作等腰直角△A₁B₁C₁，再过点C₁作A₂B₂∥y轴，分别交直线y=x和y=$\frac{1}{2}$x于A₂，B₂两点，以点A₂为直角顶点，A₂B₂为直角边在A₂B₂的右侧作等腰直角△A₂B₂C₂…，按此规律进行下去，则等腰直角△A_nB_nC_n的面积为$\frac{{3}^{2n-2}}{{2}^{2n-1}}$．（用含正整数n的代数式表示）

分析先根据点A₁的坐标以及A₁B₁∥y轴，求得B₁的坐标，进而得到A₁B₁的长以及△A₁B₁C₁面积，再根据A₂的坐标以及A₂B₂∥y轴，求得B₂的坐标，进而得到A₂B₂的长以及△A₂B₂C₂面积，最后根据根据变换规律，求得A_nB_n的长，进而得出△A_nB_nC_n的面积即可．

解答解：∵点A₁（2，2），A₁B₁∥y轴交直线y=$\frac{1}{2}$x于点B₁，
∴B₁（2，1）
∴A₁B₁=2-1=1，即△A₁B₁C₁面积=$\frac{1}{2}$×1²=$\frac{1}{2}$；
∵A₁C₁=A₁B₁=1，
∴A₂（3，3），
又∵A₂B₂∥y轴，交直线y=$\frac{1}{2}$x于点B₂，
∴B₂（3，$\frac{3}{2}$），
∴A₂B₂=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，即△A₂B₂C₂面积=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{8}$；
以此类推，
A₃B₃=$\frac{9}{4}$，即△A₃B₃C₃面积=$\frac{1}{2}$×（$\frac{9}{4}$）²=$\frac{81}{32}$；
A₄B₄=$\frac{27}{8}$，即△A₄B₄C₄面积=$\frac{1}{2}$×（$\frac{27}{8}$）²=$\frac{729}{128}$；
…
∴A_nB_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1，即△A_nB_nC_n的面积=$\frac{1}{2}$×[（$\frac{3}{2}$）^n-1]²=$\frac{{3}^{2n-2}}{{2}^{2n-1}}$．
故答案为：$\frac{{3}^{2n-2}}{{2}^{2n-1}}$

点评本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律，根据A_nB_n的长，求得△A_nB_nC_n的面积．解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．

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