Question

如图1，直线y=k₁x+b与反比例函数的图象交于A（1，12）； B（a，4）两点．
（1）求k₁、k₂的值；
（2）结合图形，直接写出时，x的取值范围；
（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；
（4）如图2，梯形OBCE中，BC∥OE，过点C作CE⊥x轴于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，连接PB．当梯形OBCE的面积为时，请判断PB和OB的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（1，12）在上，
∴k₂=12，
∵B（a，4）在上，
∴a=3，
∴B（3，4），
∵y=k₁x+b过A（1，12），B（3，4）
∴，
∴，
∴y=-4x+16，
综上可得k₁的值为-4，k₂的值为12．

（2）x的取值范围为：0＜x＜1或x＞3．

（3）直线y=-4x+16交坐标轴于M、N，如图1，
则M点坐标为（0，16），N点坐标为（4，0），
∴S_△ABO=S_△AON-S_△BON=×4×12-×4×4=16．

（4）PB⊥OB．
理由：延长CB交y轴于点H，如图2，
∵四边形OBCE为梯形，
∴BC∥OE，
而B点坐标为（3，4），
∴C点的纵坐标为4，
设C点坐标为（a，4），
∵CE⊥x轴，
∴E点坐标为（a，0），P点的横坐标为a，
∵P点在y=的图象上，
∴P点坐标为（a，），
∵梯形OBCE的面积为，
∴（BC+OE）×CE=，即（a+a-3）×4=，
解得a=，
∴BH=3，PC=4-=，BC=-3=
∵=，=，∠BHO=∠PCB=90°，
∴△BOH∽△PBC，
∴∠HOB=∠CBP，
∴∠CBP+∠HBO=90°，
即PB⊥OB．
分析：（1）先把A（1，12）代入，求得k₂=12，再把B（a，4）代入y=可得a=3，即B点坐标为（3，4），然后把A（1，12）、B（3，4）代入y=k₁x+b得到关于k₁、b的方程组，解方程组得到得k₁．
（2）观察图象得到当0＜x＜1或x＞3时，直线y=k₁x+b都在反比例函数y=的图象下方，即k1x+b-＜0；
（3）直线y=-4x+16交坐标轴于M、N，先求出M与N的坐标，然后利用S_△ABO=S_△AON-S_△BON计算即可；
（4）延长CB交y轴于点H，证△BOH∽△PBC，即可得出结论．
点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题及梯形的知识，难点最后一问，解题的关键是利用两边及其夹角法证明△BOH∽△PBC．