Question

5．某“科技创新小组”设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车分别从A、B同时同向出发，沿轨道到达C处停止，甲的速度是乙的速度的2倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为y₁（米）、y₂（米），且y₁、y₂与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：
（1）AB的距离为80米，乙遥控车的速度为40米/分，a=1，b=4；（直接填空）
（2）直接写出甲遥控车与B处的距离y₁与时间t的函数关系式；
（3）若甲、乙两遥控车的距离在20米内（含20米）时信号互相干扰，直接写出两遥控车信号互相干扰时t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据y轴表示与B处的距离可知：甲起点位置坐标为（0，80），说明AB的距离为80米；乙遥控车的速度为：240÷6=40米/分，由已知中的“甲的速度是乙的速度的2倍”得：甲的速度为80米/分，从而可计算a、b的值；
（2）这是一个分段函数，利用待定系数法求解析式即可；
（3）根据数形结合，分别在两个交点处，列不等式组，满足两车的距离不大于20米，解出即可．

解答 解：（1）由图形得：AB的距离为80米，
乙遥控车的速度为：240÷6=40米/分，
∴甲遥控车的速度为80米/分，
80÷80=1，
∴a=1，
240÷80=3，
∴b=3+1=4，
故答案为：80、40、1、4；
（2）当0≤t≤1时，设y₁=kt+b，
把（0，80），（1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=80}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-80}\\{b=80}\end{array}\right.$，
∴y₁=-80t+80，
当1＜t≤4时，设y₁=kt+b，
把（1，0），（4，240）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{4k+b=240}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=80}\\{b=-80}\end{array}\right.$，
∴y₁=80t-80，
综上所述，甲遥控车与B处的距离y₁与时间t的函数关系式为：y₁=$\left\{\begin{array}{l}{-80t+80（0≤t≤1）}\\{80t-80（1＜t≤4）}\end{array}\right.$；
（3）由题意得：y₂=40t，
分两个时间段：
①如图中两遥控车的第一个交点处时，得$\left\{\begin{array}{l}{-80t+80-40t≤20}\\{40t+80t-80≤20}\end{array}\right.$，
解不等式组得：0.5≤t≤1.2，
②如图中两遥控车的第二个交点处时，得$\left\{\begin{array}{l}{40t-80t+80≤20}\\{80t-80-40t≤20}\end{array}\right.$，
解不等式组得：$\frac{3}{2}≤t≤\frac{5}{2}$，
综上所述，两遥控车信号互相干扰时t的取值范围是0.5≤t≤1.2或$\frac{3}{2}$≤t$≤\frac{5}{2}$．

点评 本题是一次函数的应用，（1）利用了路程、速度、时间三者的关系，（2）分段函数：分别利用待定系数法求解，（3）在两交点处分类讨论是解题关键．