Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P。
（1）当∠B=30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

Answer 1

解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°
∴∠BAC=60°
∵AD=AE
∴∠AED=60°=∠CEP
∴∠EPC=30°
∴三角形BDP为等腰三角形
∵△AEP与△BDP相似
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°
∴AE=EP=1
∴在RT△ECP中，EC=EP=；
（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x
∵AE=1，EC=2
∴QC=3-a
∵∠ACB=90°
∴△ADQ与△ABC相似
∴
即，
∴
∵在RT△ADQ中
∵
∴
解之得x=4，即BC=4
过点C作CF//DP
∴△ADE与△AFC相似，
∴，
即AF=AC，即DF=EC=2，
∴BF=DF=2
∵△BFC与△BDP相似
∴，
即：BC=CP=4
∴tan∠BPD=；
（3）过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1-a
∴且
∴
∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：
即：，
解之得
∵△ADQ与△ABC相似
∴
∴
∴三角形ABC的周长
即：，其中x>0。