Question

如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，求证：BE-AC=AE．

Answer 1

分析：作DG⊥AC，连接BD、CD，易证△ADE≌△ADG，得AE=AG，只要再证明△BED≌△CGD，即可得到；

解答：证明：作DG⊥AC，连接BD、CD，
∵AD是外角∠BAG的平分线，DE⊥AB，
∴∠DAE=∠DAG，
则在△ADE与△ADG中，

∠DEA=∠DGA ∠EAD=∠GAD AD=AD

∴△ADE≌△ADG（AAS），
∴AE=AG，
∵DF是BC的中垂线，
∴BD=CD，
∴在Rt△BED和Rt△CGD中，

DE=DG BD=CD

，
∴Rt△BED≌Rt△CGD（HL），
∴BE=CG=AC+AG，AG=AE，
∴BE-AC=AE．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，考查了学生综合运用知识解决问题的能力，作辅助线构建全等三角形，是解答本题的关键．