在△ABC中.∠ACB＝90°.∠ABC＝30°.将△ABC绕顶点C顺时针旋转.旋转角为(0°＜＜180°).得到△A1B1C．(1)如图1.当AB∥CB1时.设A1B1与BC相交于点D．证明:△A1CD是等边三角形,(2)如图2.连接AA1.BB1.设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1.S2．求证:S1∶S2＝1∶3,(3)如图3.设AC的中点为E.A1B1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

(本小题满分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为

(0°＜

＜180°)，得到△A₁B₁C．

(1)如图1，当AB∥CB₁时，设A₁B₁与BC相交于点D．证明：△A₁CD是等边三角形；
(2)如图2，连接AA₁、BB₁，设△ACA₁和△BCB₁的面积分别为S₁、S₂．
求证：S₁∶S₂＝1∶3；
(3)如图3，设AC的中点为E，A₁B₁的中点为P，AC＝a，连接EP．当

等于多少度时，EP的长度最大，最大值是多少？

见解析

（1）∵AB∥CB′，
∴∠B=∠BC B′=30°，
∴∠A′CD=60°，
又∵∠A′=60∠，
∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，
∴△A′CD是等边三角形；
（2）在Rt△ACB中∠ABC=30°
∴AC:BC=1:

又∵旋转角度为θ
∴∠ACA'=∠BCB'
又∵将△ABC旋转到△

∴AC=A'C CB=CB'
∴AC:BC=A'C:B'C="1:"

∴△ACA'∽△BCB'
∴S1∶S2＝

（3）（3）当E,C,P三点在一条直线上时取得最大值，即

旋转120°，EP=

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