Question

在△ABC中，∠ACB=90°AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当MN绕点C旋转到图1的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系（直接写出结论，不要求写出证明过程）；
（2）当MN绕点C旋转到图2的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明；
（3）当MN绕点C旋转到图3的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明．

Answer 1

解：（1）线段DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD+BE．

（2）如图2，
猜想：（1）中得到的结论发生了变化．
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°．
∴∠BCE+∠CBE=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠ACD=∠CBE．
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBE．
∴AD=CE，CD=BE．
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．

（3）如图3，
猜想：（1）中得到的结论发生了变化．
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°．
∴∠BCE+∠CBE=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠ACD=∠CBE．
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBE．
∴AD=CE，CD=BE．
∵DE=CD-CE，
∴DE=BE-AD．
分析：（1）根据题意推出△ADC≌△CEB，即可，（2）根据题意推出△ACD≌△CBE，即可推出DE=AD-BE，（3）根据题意推出△ACD≌△CBE，即可推出DE=BE-AD．
点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，关键在于求证相关的三角形全等，找出等量关系进行代换即可．