Question

菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD的中点．
（1）若∠B=60°，S_菱形ABCD=，求AB的长；
（2）H为AB上一点，连CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．

Answer 1

解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是AB的中点，
∴EC⊥AB，
∴CE=BC•sin60°=BC，
即CE=AB，
∵S_菱形ABCD=AB•CE=，
∴AB=4；

（2）证明：延长BA与CF，交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，
∴∠G=∠FCD，
∵点F分别为AD的中点，且AG∥CD，
∴AG=AB，
∵在△BCE和△DCF中，
，
∵△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB=∠DCF，
∵∠CHB=2∠ECB，
∴∠CHB=2∠G，
∵∠CHB=∠G+∠HCG，
∴∠G=∠HCG，
∴GH=CH，
∴CH=AH+AG=AH+AB．
分析：（1）连接AC，可证得△ABC是等边三角形，又由E、F分别为AB、AD的中点，根据三线合一，可得CE⊥AB，又由CE=AB，S_菱形ABCD=，即可求得AB的长；
（2）延长BA与CF，交于点G，根据平行线的性质，可得AG=AB，易证得△BCE≌△DCF，可得△CGH是等腰三角形，继而可证得结论．
点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．