Question

9．已知平行四边形ABCD的周长为28，自顶点A作AE⊥DC于点E，AF⊥BC于点F．若AE=3，AF=4，则CE+CF=14+7$\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先可证得△ADE∽△ABF，又由四边形ABCD是平行四边形，即可求得AB与AD的长，然后根据勾股定理即可求得DE与BF的长，继而求得答案．

解答 解：如图1：∵AE⊥DC，AF⊥BC，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠CBA，AB=CD，AD=BC，
∴△ADE∽△ABF，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AF}=\frac{3}{4}$，
∵AD+CD+BC+AB=28，
即AD+AB=14，
∴AD=6，AB=8，
∴DE=3$\sqrt{3}$，BF=4$\sqrt{3}$，
∴EC=CD-DE=8-3$\sqrt{3}$，CF=BF-BC=4$\sqrt{3}$-6，
∴CE+CF=（8-3$\sqrt{3}$）+（4$\sqrt{3}$-6）=2+$\sqrt{3}$；
如图2：∵AE⊥DC，AF⊥BC，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠CBA，AB=CD，AD=BC，
∴∠ADE=∠ABF，
∴△ADE∽△ABF，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AF}=\frac{3}{4}$，
∵AD+CD+BC+AB=28，
即AD+AB=14，
∴AD=6，AB=8，
∴DE=3$\sqrt{3}$，BF=4$\sqrt{3}$，
∴EC=CD+DE=8+3$\sqrt{3}$，CF=BC+BF=6+4$\sqrt{3}$，
∴CE+CF=（8+3$\sqrt{3}$）+（6+4$\sqrt{3}$）=14+$\sqrt{3}$．
∴CE+CF=14+7$\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$，
故答案为：14+7$\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定的应用，关键是正确画出图形，题目比较好，但是有一定的难度．