Question

（2011•石家庄二模）（1）在△ABE中，AC⊥BE，垂足为C，点D在AC上，连接BD、ED．
如果△ABC∽△EDC，
如图1，当

BC

AC

=1时，求证：BD=AE；
如图2，当

BC

AC

=k时，请猜想BD与AE的数量关系和位置关系，并证明．
（2）如图3，如果△ABC∽△EDC，当

BC

AC

=k时，请直接写出BD与AE的数量关系．

Answer 1

分析：（1）当

BC

AC

=1时，根据相似三角形的性质得

AC

EC

=

BC

CD

，易得BC=AC，CD=CE，根据全等三角形的判定可得到Rt△BCD≌Rt△ACE，即可得到结论；
当

BC

AC

=k时，延长BD交AE于点F，根据相似三角形的性质得

AC

EC

=

BC

CD

，则

BC

AC

=

CD

EC

，根据相似三角形的判定可得到Rt△BCD∽Rt△ACE，则

BD

AE

=

BC

AC

，∠BDC=∠AEC，得到BD=kAE，而∠BCD=90°，即可得到∠CBD+∠AEC=90°，即BD⊥AE；
（2）由（1）的第二种情况可推出BD=kAE．

解答：解：（1）当

BC

AC

=1时，
证明：∵△ABC∽△EDC，
∴

AC

EC

=

BC

CD

，
∴

BC

AC

=

CD

EC

，
又∵

BC

AC

=1，
∴BC=AC，CD=CE，
又∵AC⊥BE，
∴∠ACB=∠ECD=90°，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴BD=AE；
当

BC

AC

=k时，有BD=kAE，BD⊥AE．
证明如下：如图，延长BD交AE于点F，
∵△ABC∽△EDC，
∴

AC

EC

=

BC

CD

，
∴

BC

AC

=

CD

EC

，
又∵AC⊥BE，
∴∠ACB=∠ECD=90°，
∴Rt△BCD∽Rt△ACE，
∴

BD

AE

=

BC

AC

，∠BDC=∠AEC，
∵

BC

AC

=k，
∴BD=kAE，
∴BD=kAE；
∵∠BCD=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBD+∠AEC=90°，
∴BD⊥AE；

（2）BD=kAE．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等的两三角形相似；相似三角形的对应边比相等．也考查了全等三角形的判定与性质．