Question

某商品的进价为每件30元，售价为每件50元，每个月可售出290件，如果每件商品的售价每上调一元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于56元）设每件商品的售价上调x元（x为正整数）每个月的销售量为y件．
（1）写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W元，每件商品的售价为多少元时W最大；请问，售价在什么范围时，每个月的售价不低于5880元．

Answer 1

解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为：（50-30+x）元，
总销量为：（290-10x）件，
故y=290-10x，
∵原售价为每件50元，每件售价不能高于56元，
∴0≤x≤6，
（2）
每月的销售利润为：
W=（50-30+x）（290-10x），
=（20+x）（290-10x），
=-10x²+90x+5800．
=-10（x²-9x）+5800，
=-10（x-4.5）²+6002.5．
∵x为正整数，
∴x=4时，W=6000，
x=5时，W=6000，
故每件商品的售价为54元或55元时W最大，为6000元，
当-10x²+90x+5800=5880，
-10x²+90x-80=0，
整理得：x²-9x+8=0，
解得：x₁=1，x₂=8，根据0≤x≤6，
故售价在51到56范围内时，每个月的售价不低于5880元．
分析：（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式．
（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式，进而得出当x=5或4时得出y的最大值．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据每天的利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．