Question

如图1直线y=-

3

4

x+3与x轴、y轴交于A、B两点，C点为线段AO上一点，一动点P在x轴上．
（1）当P点运动到与原点O重合时，P点关于直线BC的对称点恰好落在直线AB上，求此时PC的长；
（2）如图2，若C点为线段AO的中点，问：P点运动到何处，点P关于直线BC的对称点落在直线AB上？

Answer 1

分析：过S作SR∥WQ交WZ的延长线于R，由平行得到∠QWZ=∠SWZ和

WQ

SR

=

QZ

ZS

，根据等腰三角形的判定和性质得出WS=SR和

WQ

WS

=

QZ

ZS

；
（1）把x=0和y=0代入求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，根据上式得出的规律得出

OB

AB

=

PC

CA

，代入即可求出PC；
（2）设OP=x，根据上式得出的规律得到

BP

AB

=

PC

CA

，代入得出方程

2-x

2

=

32+x2

5

，求出即可．

解答：解：过S作SR∥WQ交WZ的延长线于R，
∴∠R=∠QWZ，
∵WZ平分∠QWS，
∴∠QWZ=∠SWZ，
∴∠R=∠SWZ，
∴WS=SR，
∵SR∥WQ，
∴

WQ

SR

=

QZ

ZS

，
∴

WQ

WS

=

QZ

ZS

，


（1）解：当x=0时，y=3，
当y=0时，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∵当P点运动到与原点O重合时，P点关于直线BC的对称点恰好落在直线AB上，
∴

OB

AB

=

PC

CA

，
即：

3

5

=

PC

4-PC

，
解得：PC=

3

2

，
答：PC的长是

3

2

．

（2）解：设OP=x，
∴

BP

AB

=

PC

CA

，

2-x

2

=

32+x2

5

，
解得：x₁=4，x₂=

16

21

，
经检验x=4不是原方程的解，舍去，
答：P点运动到OP=

16

21

时，点P关于直线BC的对称点落在直线AB上．

点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质平行线分线段成比例定理，三角形的角平分线等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，难度适中．