Question

已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²+2=0的两根，若y=（x₁+1）（x₂+1）．
（1）当y=8时，求k的值．
（2）是比较y与-k²+2k+2的大小，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵x₁+x₂=-=2（k+1），x₁x₂==k²+2，
∴y=（x₁+1）（x₂+1），
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1，
=k²+2+2（k+1）+1，
=k²+2k+5=8，
解得：k₁=1，k₂=-3（此时△＜0，不合题意舍去）；
（2）∵y=k²+2k+5，
∴k²+2k+5-（-k²+2k+2）=2k²+2，
∴y与-k²+2k+2的差大于0，
∴y＞-k²+2k+2．
分析：（1）利用根与系数关系求出x₁+x₂=-，x₁x₂=，再代入y=8求出即可；
（2）利用根与系数关系将y用k表示出，进而将两式相减判断结果即可．
点评：此题主要考查了根与系数关系，熟练利用根与系数关系求出y的值是解题关键．