Question

如图，点A、B分别为抛物线y=x²+bx+4、y=x²-2x+c与y轴交点，两条抛物线都经过点C（6，0）．点P、Q分别在抛物线y=x²+bx+4、y=x²-2x+c上，点P在点Q的上方，PQ平行y轴．设点P的横坐标为m．
（1）求b和c的值．
（2）求以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时m的值．
（3）当m为何值时，线段PQ的长度取得最大值？并求出这个最大值．
（4）直接写出线段PQ的长度随m增大而减小的m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵两条抛物线都经过点C（6，0），
∴-×6²+6b+4=0，
解得b=，
×6²-2×6+c=0，
解得c=6；

（2）根据题意，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（0，6），
所以，AB=2，
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，-m²+m+4），
∵PQ∥y轴，
∴点Q（m，m²-2m+6），
∴PQ=（-m²+m+4）-（m²-2m+6）=-m²+m+4-m²+2m+6=-m²+m-2，
∴当PQ=AB时，-m²+m-2=2，
整理得，3m²-20m+24=0，
解得m₁=，m₂=，
故以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或；

（3）由（2）知，PQ=-m²+m-2=-（m-）²+，
所以，当m=时，线段PQ的长度最大，线段PQ的最大长度为；

（4）由（3）知，PQ=-（m-）²+，
所以，线段PQ的长度随m增大而减小的m的取值范围是≤m＜6．
分析：（1）把点C的坐标代入两抛物线解析式，计算即可求出b、c的值；
（2）求出A、B的坐标，然后求出AB的长度，再根据点P的横坐标利用抛物线解析式表示出点P、Q的坐标，然后表示出PQ的长度，根据平行四边形的对边平行且相等列出方程，然后求解即可得到m的值；
（3）根据线段PQ的表达式转化为顶点式解析式，再利用二次函数的最值问题解答即可；
（4）根据PQ的表达式的顶点式形式，利用二次函数的增减性解答即可．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的对边平行且相等的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，综合性较强，但难度不大，把点C的坐标代入函数解析式求出b、c的值是解题的关键，也是本题的突破口．