Question

（2013•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=

3

，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．
（1）求证：点E到AC的距离为一个常数；
（2）若AD=

1

4

，当a=2时，求T的值；
（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．

Answer 1

分析：（1）解直角三角形，求得点E到AC的距离等于

3

2

a，这是一个定值；
（2）如答图2所示，作辅助线，将四边形MDEN分成一个等边三角形和一个平行四边形，求出其周长；
（3）可能存在三种情形，需要分类讨论：
①若0＜a≤

3

2

，△DEF在△ABC内部，如答图3所示；
②若

3

2

＜a≤

3

，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示；
③若

3

＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示．

解答：解：（1）由题意得：tanA=

BC

AC

=

3

3

=

3

，
∴∠A=60°．
∵DE∥AB，
∴∠CDE=∠A=60°．
如答图1所示，过点E作EH⊥AC于点H，

则EH=DE•sin∠CDE=a•

3

2

=

3

2

a．
∴点E到AC的距离为一个常数．

（2）若AD=

1

4

，当a=2时，如答图2所示．

设AB与DF、EF分别交于点M、N．
∵△DEF为等边三角形，∴∠MDE=60°，
由（1）知∠CDE=60°，
∴∠ADM=180°-∠MDE-∠CDE=60°，
又∵∠A=60°，
∴△ADM为等边三角形，
∴DM=AD=

1

4

．
过点M作MG∥AC，交DE于点G，则∠DMG=∠ADM=60°，
∴△DMG为等边三角形，
∴DG=MG=DM=

1

4

．
∴GE=DE-DG=2-

1

4

=

7

4

．
∵∠MGD=∠E=60°，∴MG∥NE，
又∵DE∥AB，
∴四边形MGEN为平行四边形．
∴NE=MG=

1

4

，MN=GE=

7

4

．
∴T=DE+DM+MN+NE=2+

1

4

+

7

4

+

1

4

=

17

4

．

（3）若点D运动到AC的中点处，分情况讨论如下：
①若0＜a≤

3

2

，△DEF在△ABC内部，如答图3所示：

∴T=3a；
②若

3

2

＜a≤

3

，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示：

设AB与DF、EF分别交于点M、N，过点M作MG∥AC交DE于点G．
与（2）同理，可知△ADM、△DMG均为等边三角形，四边形MGEN为平行四边形．
∴DM=DG=NE=AD=

3

2

，MN=GE=DE-DG=a-

3

2

，
∴T=DE+DM+MN+NE=a+

3

2

+（a-

3

2

）+

3

2

=2a+

3

2

；
③若

3

＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示：

设AB与DF、EF分别交于点M、N，BC与DE、EF分别交于点P、Q．
在Rt△PCD中，CD=

3

2

，∠CDP=60°，∠DPC=30°，
∴PC=CD•tan60°=

3

2

×

3

=

3

2

．
∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°．
由（1）知，点E到AC的距离为

3

2

a，∴PQ=

3

2

a-

3

2

．
∴QE=PQ•tan30°=（

3

2

a-

3

2

）×

3

3

=

1

2

a-

3

2

，PE=2QE=a-

3

．
由②可知，四边形MDEN的周长为2a+

3

2

．
∴T=四边形MDEN的周长-PE-QE+PQ=（2a+

3

2

）-（a-

3

）-（

1

2

a-

3

2

）+（

3

2

a-

3

2

）=

3 +1

2

a+2

3

-

3

2

．
综上所述，若点D运动到AC的中点处，T的关系式为：
T=

3a(0＜a≤ 3 2 ) 2a+ 3 2 ( 3 2 ＜a≤ 3 ) 3 +1 2 a+2 3 - 3 2 ( 3 ＜a＜3)

．

点评：本题考查了运动型综合题，新颖之处在于所求是重叠部分的周长而非面积．难点在于第（3）问，根据题意，可能的情形有三种，需要分类讨论，避免漏解．