Question

10．如图，已知二次函数y=x²-（$\sqrt{3}$-m）x-$\sqrt{3}$m（其中0＜m＜$\sqrt{3}$）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的外心为P．
（1）∠BAC=60°；
（2）求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在坐标轴上是否存在点Q，使得以Q、A、C为顶点的三角形与△PBC相似，且面积比为2：3？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0和y=0求出A、B、C三点的坐标，表示出OA和OC的长，利用三角函数求∠BAC的度数；
（2）如图1，作对称轴l，则点P在对称轴上，连接PA、PC，根据PA=PC利用勾股定理列方程可求得P的坐标；
（3）先根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可求得：∠BPC=2∠BAC=120°，再由外心可知：PA=PB=PC，所以△BPC是一个顶角为120°，两底角为30°的等腰三角形，根据以Q、A、C为顶点的三角形与△PBC相似，可知△QAC也是一个顶角为120°，两底角为30°的等腰三角形，得出Q（-3m，0）或（0，$\sqrt{3}$m）；
分两种情况画图：根据面积比为2：3列式可求得相应m的值，写出对应Q的坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=-$\sqrt{3}$m，
∴C（0，-$\sqrt{3}$m），
∴OC=$\sqrt{3}$m，
当y=0时，x²-（$\sqrt{3}$-m）x-$\sqrt{3}$m=0，
（x-$\sqrt{3}$）（x+m）=0，
x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-m，
∴A（-m，0），B（$\sqrt{3}$，0），
∴OA=m，
在Rt△AOC中，tan∠BAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}m}{m}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAC=60°，
故答案为：60；
（2）如图1，作抛物线的对称轴l，交x轴于E，则外心P一定是直线l上，
过P作PD⊥y轴于D，连接PA、PC，
∴对称轴l：x=-$\frac{-（\sqrt{3}-m）}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$，
设P（$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$，n），
∵△ABC的外心为P，
∴PA=PC，
∴PA²=PC²，
∴PE²+AE²=PD²+CD²，
则${n}^{2}+（m+\frac{\sqrt{3}-m}{2}）^{2}$=$（\frac{\sqrt{3}-m}{2}）^{2}$+（n+$\sqrt{3}$m）²，
解得：n=$\frac{1-\sqrt{3}m}{2}$，
∴P（$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}m}{2}$）；
（3）存在点Q满足题意，如图2，点P是△ABC的外心，则∠BPC和∠BAC对应同一条弧BC，且由（1）可知：∠BAC=60°，
∴∠BPC=2∠BAC=120°
∴△BPC是一个顶角为120°，两底角为30°的等腰三角形，
∵以Q、A、C为顶点的三角形与△PBC相似，
∴△QAC也是一个顶角为120°，两底角为30°的等腰三角形，
由题意得：Q（-3m，0）或（0，$\sqrt{3}$m）；
①当Q（0，$\sqrt{3}$m）时，如图2，
S_△ACQ=$\frac{1}{2}$CQ•AO=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$m×m=$\sqrt{3}$m²，
设BC的解析式为：y=kx+b，
把B（$\sqrt{3}$，0），C（0，-$\sqrt{3}$m）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=0}\\{b=-\sqrt{3}m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=m}\\{b=-\sqrt{3}m}\end{array}\right.$，
∴BC的解析式为：y=mx-$\sqrt{3}$m，
设对称轴l与BC交于H，
∵P（$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}m}{2}$），
当x=$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$时，y=m•$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$-$\sqrt{3}$m=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴PH=$\frac{1}{2}$m²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{\sqrt{3}m-1}{2}$=$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$，
∴S_△BPC=$\frac{1}{2}$PH•OB=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$）×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m²+1），
若$\frac{{S}_{△ACQ}}{{S}_{△BPC}}$=$\frac{2}{3}$时，则3S_△ACQ=2S_△BPC，
即3$\sqrt{3}$m²=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m²+1），
m=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵0＜m＜$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴Q（0，$\frac{\sqrt{15}}{5}$），
若$\frac{{S}_{△ACQ}}{{S}_{△BPC}}$=$\frac{3}{2}$时，则2S_△ACQ=3S_△BPC，
即2$\sqrt{3}$m²=3×$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m²+1），
m=$±\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵0＜m＜$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴Q（0，$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）；
②当Q（-3m，0）时，如图3，
S_△ACQ=$\frac{1}{2}$AQ•CO=$\frac{1}{2}$×2m×$\sqrt{3}$m=$\sqrt{3}$m²，
若$\frac{{S}_{△ACQ}}{{S}_{△BPC}}$=$\frac{2}{3}$时，则3S_△ACQ=2S_△BPC，
同理得m=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴Q（-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，0），
若$\frac{{S}_{△ACQ}}{{S}_{△BPC}}$=$\frac{3}{2}$时，则2S_△ACQ=3S_△BPC，
同理得：m=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴Q（-$\frac{3\sqrt{15}}{5}$，0）；
综上所述，点Q的坐标为：∴Q（0，$\frac{\sqrt{15}}{5}$）或Q（0，$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）或Q（-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，0）或Q（-$\frac{3\sqrt{15}}{5}$，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与两坐标轴交点的坐标、三角形的外接圆及外心、三角形相似的判定、三角形面积等知识，难度较大，属于字母系数的问题，本题要把m作为常数来解决，注意采用分类讨论的分式，不要漏解．