Question

一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．
（1）求C点坐标；
（2）在第二象限内有一点M（m，1），使S_△ABC=S_△ABM，求M点坐标；
（3）点C′（2，0），在直线AB上是否存在一点P，使△AC′P为等腰三角形？若存在，求P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）根据直线的函数关系式，我们可得出A点的坐标为（-2，0），B点的坐标为（0，2），
那么OA=2，OB=2，直角三角形ABO中，AG==4，∠BAO=30°，
根据三角形ABC是个等边三角形，因此∠CAB=60°．∠CAO=∠CAB+∠BAO=90°，
因此C点的横坐标应该和A点相同，
∵CA=AB=BC，
∴AC=AB=4，
那么C点的坐标为（-2，4）．

（2）由题意可知，C与M必在与AB平行的直线上，设这条直线为y=x+b，
将C点的坐标代入这条直线中得：-2+b=4，b=6，
因此这条直线的解析式是y=x+6，
当y=1时，m+6=1，m=-5，
因此M点的坐标为（-5，1），

（3）分三种情况：
①以P为顶点，AP，PC′为腰，此时P点的坐标是（1-，+1），
②以A为顶点，AP、AC′为腰，此时P点的坐标是（-3-，--1）或（3-，+1），
③以C′为顶点，AC′，C′P为腰，此时P点的坐标是（+3，3+3），
因此存在这样的点P，且P的坐标为（1-，+1）或（-3-，--1）或（3-，+1）或（+3，3+3）．
分析：（1）根据函数的关系式我们可求出A，B两点的坐标为（-2，0），（0，2），OA=2，OB=2，因此∠OAB=30°，因为三角形CAB是个等边三角形，因此∠CAB=60°，那么CA⊥OA，C点的横坐标就是A点的横坐标，如果求出CA的长那么就能求出C点的坐标了，根据AC=AB，有OA、OB的长，根据勾股定理我们可求出AB的长，也就求出AC的长，那么C点的坐标就求出来了．
（2）根据S_△ABC=S_△ABM，两三角形同底，也应该等高，因此M与C必在与AB平行的直线上，因此这条直线的斜率与已知的函数的斜率相同，可用C点坐标先确定MC所在直线的函数关系式，然后将M的坐标代入其中求出M的坐标．
（3）可分三种情况进行讨论：
①以P为顶点，AP、C′P为腰，图1，过P作PD⊥AC，PD就是线段AC′的垂直平分线，AD=DC′=1+，
OD=C′D-OC′=-1，那么P的横坐标就是1-，代入函数式中即可求出P的坐标为（1-，+1）
②以A为顶点，AP，AC′为腰．图2可过P₁作P₁E⊥x轴于E，由（1）知，∠BAO的度数，又可根据A，C′的坐标求出AC′的长，那么在直角三角形AP₁E中就能求出P₁E和AE的长，那么就能求出P₁的坐标了，P₂的求法同P₁．
③以C′为顶点，以AC•C′P为腰．图3，求法同第二种情况．

点评：本题综合考查了一次函数和直角三角形的应用，本题中利用直角三角形来求线段的长，从而得出点的坐标是解题的基本思路．要注意第三问中要把所有的情况都考虑到，不要遗漏任何一种情况．