Question

设n是正整数，且是15的倍数，n=15m．已知m是完全平方数，120×n是完全立方数，36×n是完全5次方数，则n的最小值是

2¹⁸×3²³×5⁵

．

Answer 1

分析：由120×15=2³×3²×5²，n=15m，120×n是完全立方数，可设m=2^3a×3^3b+1×5^3c+1[（a=0，1，2…），（b，c=1，2…）]，又由m是完全平方数，可设a=2d，b=（2e-1），b=（2f-1），即可表示出m，又由36×n是完全5次方数，即可设d=5g+3，e=5h-1，f=5k-4，求得36×n=2^30g+20×3^30h-5×5^30k-25[（g=0，1，2…），（h，k=1，2…）]则可求得答案．

解答：解：∵120×15=2³×3²×5²，
又∵n=15m，120×n是完全立方数，
即120×15m是完全立方数，
∴设m=2^3a×3^3b+1×5^3c+1[（a=0，1，2…），（b，c=1，2…）]，
∵m是完全平方数，
∴设a=2d，b=（2e-1），b=（2f-1），
∴m=2^6d×3^6e-2×5^6f-2[（d=0，1，2…），（e，f=1，2…）]，
∴36×n=36×15m=2²×3³×5¹m=2^6d+2×3^6e+1×5^6f-1[（d=0，1，2…），（e，f=1，2…）]，
∵36×n是完全5次方数，
∴设d=5g+3，e=5h-1，f=5k-4，
∴36×n=2^30g+20×3^30h-5×5^30k-25[（g=0，1，2…），（h，k=1，2…）]
∴取最小值：g=0，h=k=1可得：36×n=2²⁰×3²⁵×5⁵，
∴n=2¹⁸×3²³×5⁵．

点评：此题考查了完全平方数的应用．此题难度较大，解题的关键是根据题意设m=2^3a×3^3b+1×5^3c+1[（a=0，1，2…），（b，c=1，2…）]，然后利用同样的方法，表示出36×n=2^30g+20×3^30h-5×5^30k-25[（g=0，1，2…），（h，k=1，2…）]．