Question

已知：如图所示，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．
（1）求证：BF=AC；     
（2）求证：DG=DF．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可；
（2）由已知条件和角平分线的性质求出∠DGF=∠DFG=67.5°，即可证明DG=DF．

解答：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中
∵

∠BDF=∠CDA ∠A=∠DFB BD=CD

，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC；

（2）证明：∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵∠BDF=∠BHG=90°，
∴∠BGH=∠BFD=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG=67.5°，
∴DG=DF．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，题目综合性比较强．