Question

24、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）等腰梯形、矩形、正方形，任选两个即可；
（2）等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．分两种情况证明：当BC与CE不在同一条直线上时，60°角所对的两边之和大于其中一条对角线的长；当BC与CE在同一条直线上时60°角所对的两边之和等于其中一条对角线的长．

解答：解：（1）等腰梯形、矩形、正方形．
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．
已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=BD，
且∠AOD=60度．
求证：BC+AD≥AC．
证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC．
连接CE，BE．
故∠EDO=60°，四边形ACED是平行四边形．
所以△BDE是等边三角形，CE=AD．
所以DE=BE=AC．
①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），
在△BCE中，有BC+CE＞BE．
所以BC+AD＞AC．
②当BC与CE在同一条直线上时（如图2），
则BC+CE=BE．
因此BC+AD=AC
综合①、②，得BC+AD≥AC．
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．

点评：本题综合考查了平行四边形的判定和三角形的有关知识，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系．