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    平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．

    (1）求此二次函数的表达式；

    (2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；

    (3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．

    答案：

    分析：（1）已知了抛物线的顶点横坐标为1，即x=-
    b
    2a
    =1，将已知的两点坐标代入抛物线中，联立三式即可求出抛物线的解析式．
    （2）本题要分两种情况讨论：△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，解题思路都是通过相似三角形得出的关于BD、BC、BO、BA的比例关系式求出BD的长，然后根据∠OBC=45°的特殊条件用BD的长求出D点的坐标．
    （3）本题求解的关键是找出几个特殊位置．
    ①由于∠PCO是锐角，因此要先找出∠PCO是直角时的值，以此来确定P的大致取值范围．去C关于抛物线对称轴的对称点C′（2，3），那么当P、C′重合时，∠PCO=90°，因此∠PCO若为锐角，则P点的横坐标必大于2．
    ②当∠PCO=∠ACO时，根据A点的坐标和抛物线对称轴的解析式可知：∠ACO=∠ECO，因此直线CE与抛物线的交点（除C外）就是此时P点的位置．据此可求出此时P点的横坐标．
    根据上面两种情况进行判定即可．
    解答：精英家教网解：（1）∵二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12），
    ∴由
    -
    b
    2a
    =1
    4a+2b+c=3
    9a-3b+c=-12

    解得
    a=-1
    b=2
    c=3
    ．
    ∴此二次函数的表达式为y=-x2+2x+3．

    （2）假设存在直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．
    在y=-x2+2x+3中，令y=0，则由-x2+2x+3=0，
    解得x1=-1，x2=3．
    ∴A（-1，0），B（3，0）．
    令x=0，得y=3．
    ∴C（0，3）．
    设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．
    ∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（-1，0）．
    ∴|AB|=4，|OB|=|OC|=3，∠OBC=45°．
    ∴|BC|=
    		32+32
    =3
    		2
    ．
    要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
    已有∠B=∠B，则只需
    |BD|
    |BC|
    =
    |BO|
    |BA|
    ，①或
    |BO|
    |BC|
    =
    |BD|
    |BA|
    ②成立．
    若是①，则有|BD|=
    |BO|?|BC|
    |BA|
    =
    3×3
    		2
    4
    =
    9
    		2
    4
    ．
    而∠OBC=45°，
    ∴|BE|=|DE|．
    ∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
    得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=（
    9
    		2
    4
    ）2．
    解得|BE|=|DE|=
    9
    4
    （负值舍去）．
    ∴|OE|=|OB|-|BE|=3-
    9
    4
    =
    3
    4
    ．
    ∴点D的坐标为（
    3
    4
    ，
    9
    4
    ）．
    将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=3．
    ∴满足条件的直线l的函数表达式为y=3x．
    或求出直线AC的函数表达式为y=3x+3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y=3x．
    此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为y=-x+3．联立y=3x，y=-x+3求得点D的坐标为（
    3
    4
    ，
    9
    4
    ）．
    若是②，则有|BD|=
    |BO|?|BA|
    |BC|
    =
    3×4
    3
    		2
    =2
    		2
    ．
    而∠OBC=45°，
    ∴|BE|=|DE|．
    ∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
    得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=（2
    		2
    ）2．
    解得|BE|=|DE|=2（负值舍去）．
    ∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1．
    ∴点D的坐标为（1，2）．
    将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=2．
    ∴满足条件的直线l的函数表达式为y=2x．
    ∴存在直线l：y=3x或y=2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），
    使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为（
    3
    4
    ，
    9
    4
    ）或（1，2）．

    （3）设过点C（0，3），E（1，0）的直线y=kx+3（k≠0）与该二次函数的图象交于点P．
    将点E（1，0）的坐标代入y=kx+3中，
    求得k=-3．
    ∴此直线的函数表达式为y=-3x+3．
    设点P的坐标为（x，-3x+3），
    并代入y=-x2+2x+3，得x2-5x=0．
    解得x1=5，x2=0（不合题意，舍去）．
    ∴x=5，y=-12．
    ∴点P的坐标为（5，-12）．
    此时，锐角∠PCO=∠ACO．
    又∵二次函数的对称轴为x=1，
    ∴点C关于对称轴对称的点C'的坐标为（2，3）．
    ∴当xp＞5时，锐角∠PCO＜∠ACO；
    当xp=5时，锐角∠PCO=∠ACO；
    当2＜xp＜5时，锐角∠PCO＞∠ACO．
    点评：本题是二次函数综合体，考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定、函数图象交点等知识点．综合性强．



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    （1）求点B的坐标；
    （2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值；
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    （1）求抛物线的解析式；
    （2）在Y轴右侧抛物线上是否存在点P，使得以点P、O、E、D为顶点的四边形是梯形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
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