Question

19．如图，直线l₁∥l₂∥l₃，且l₁与l₂的距离为1，l₂与l₃的距离为2，等腰△ABC的顶点分别在直线l₁、l₂，l₃上，AB=AC，∠BAC=120°，则等腰三角形的腰长为2或$\frac{2\sqrt{39}}{3}$或$\frac{2\sqrt{57}}{3}$．

Answer 1

分析 分三种情形讨论：①如图1中，作BF⊥l₁于F交l₃于H，取BC的中点E，过点E作l₄∥l₃，连接AE．取AB的中点O，连接OF、OE．首先证明A、F、B、E四点共圆，推出∠BFE=∠BAE=60°，在Rt△EMF中，求出EM，在Rt△BME中求出BE即可解决问题．②如图2中，作BF⊥l₃于F交l₂于G，取BC的中点E，过点E作${l}_{{\;}_{4}}$∥l₁交BF于H．解法类似①．③如图3中，在直线l₂取一点A，作AB⊥l₂交l₃于B，作∠CAB=120°，作CE⊥l₂于E．只要证明△ABC是等腰三角形即可．

解答 解：①如图1中，作BF⊥l₁于F交l₃于H，取BC的中点E，过点E作l₄∥l₃，连接AE．取AB的中点O，连接OF、OE．

∵AB=AC，BE=EC．
∴AE⊥BC，∠BAE=60°，∵BF⊥AF，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴OA=OB=OF=OE，
∴A、F、B、E四点共圆，
∴∠BFE=∠BAE=60°，
∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，BE=EC，
∴BF=BM=MH=1，
在Rt△EFM中，EM=FM•tan60°=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BEM中，BE=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
在Rt△ABE中，AB=BE÷cos30°=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$．

②如图2中，作BF⊥l₃于F交l₂于G，取BC的中点E，过点E作${l}_{{\;}_{4}}$∥l₁交BF于H．

同理可证B、F、A、E四点共圆，
∴∠BFE=∠BAE=60°，
∵BE=EC，l₁∥l₄∥l₂，
∴BH=HG=$\frac{1}{2}$，
在Rt△EHF中，HE=FHtan60°=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△BEH中，BE=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{19}$，
∴AB=BE÷cos30°=$\frac{2\sqrt{57}}{3}$，

③如图3中，在直线l₂取一点A，作AB⊥l₂交l₃于B，作∠CAB=120°，作CE⊥l₂于E．

∵∠CAE=∠CAB-∠EAB=120°-90°=30°，
∴在Rt△ACE中，AC=2EC=2，
∵AB=2，
∴AC=AB，
∴△ABC满足条件，
∴AB=2，
综上所述，等腰三角形的腰长为2或$\frac{2\sqrt{39}}{3}$或$\frac{2\sqrt{57}}{3}$．

点评 本题考查平行线分线段成比例定理、勾股定理、四点共圆、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．