Question

14、30⁴的所有不同的正约数共有

125

个．

Answer 1

分析：由于30⁴=2⁴×3⁴×5⁴×1，那么先分析2⁴里有几个不同的约数，从而可知3⁴、5⁴里的约数，并易知道2⁴与3⁴组成不同的约数的个数，也就知道3⁴与5⁴、2⁴与5⁴组成的约数的个数，也就容易知道3⁴与5⁴、2⁴可以组成不同的约数的个数，再加上约数1，就可求出所有答案．

解答：解：∵30⁴=2⁴×3⁴×5⁴×1，
∴2⁴里有约数2、2²、2³、2⁴，
同理3⁴有约数4个，5⁴里有约数4个，
∴2⁴与3⁴又可以组成16个不同的约数，
同理2⁴与5⁴可以组成16个不同的约数，
3⁴与5⁴可以组成16个不同的约数，
∴3⁴与5⁴、2⁴可以组成4×4×4个不同的约数，
故正约数的个数=3×4+16×3+4×4×4+1=125个．
故答案是125．

点评：本题考查了约数的概念．