Question

2．如图，一次函数y=-$\frac{4}{3}$x+4的图象与x轴和y轴分别交于点B和点A，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD．
（1）求AB的长；
（2）求点C、点D的坐标；
（3）过点D的直线交x轴于点P，当△PBC为等腰三角形时，求直线DP的解析式．

Answer 1

分析 （1）先求出点A、B两点坐标，利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图1中，连接AC、BD交于O′，作CM⊥x轴于M，由△ABO≌△BCM，推出BM=OA=4，CM=OB=3，由此可得点D坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标．
（3）分三种情形讨论即可．满足条件的点P坐标有四个，利用待定系数法求出直线DP的解析式．

解答 解：（1）对于一次函数y=-$\frac{4}{3}$x+4，
令x=0，得y=4，令y=0得x=3，
∴A（0，4），B（3，0），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

（2）如图1中，连接AC、BD交于O′，作CM⊥x轴于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∵∠ABO+∠CBM=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBM，
在△ABO和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BMC=90°}\\{∠OAB=∠MBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCM，
∴BM=OA=4，CM=OB=3，
∴C（7，3），设点D坐标为（m，n），
∵O′A=O′C，O′B=O′D，
∴$\frac{0+7}{2}$=$\frac{3+m}{2}$，$\frac{4+3}{2}$=$\frac{n+0}{2}$，
∴m=4，n=7，
∴D（4，7）．

（3）如图2中，

①当BP=BC=5时，可得P₁（-2，0），P₂（8，0）．
∴直线DP₁的解析式为y=$\frac{7}{6}$x+$\frac{7}{3}$．
直线DP₂的解析式为y=-$\frac{7}{4}$x+14．

②当PB=PC时，
∵B（3，0），C（7，3），
∴直线BC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{4}$，
∴线段BC的中垂线的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{49}{6}$，令y=0得x=$\frac{49}{8}$，可得P₃（$\frac{49}{8}$，0）．
直线DP₃的解析式为y=-$\frac{56}{17}$x+$\frac{343}{17}$．

③当CB=CP时，可得P₄（11，0）．
直线DP₄的解析式为y=-x+11．
综上所述，直线DP的解析式为y=$\frac{7}{6}$x+$\frac{7}{3}$或y=-$\frac{7}{4}$x+14或y=-$\frac{56}{17}$x+$\frac{343}{17}$或y=-x+11．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式，一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．