Question

如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DF=3，DE=2
①求值；
②求图中阴影部分的面积．

Answer 1

证明：（1）连接OD
∵OA=OD，∴∠1=∠2
∵∠1=∠3，∴∠2=∠3
∴OD∥AF
∵DF⊥AF，∴OD⊥DF
∴DF是⊙O的切线
（2）①解：连接BD
∵直径AB
∴∠ADB=90°
∵圆O与BE相切
∴∠ABE=90°
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°
∴∠DAB=∠DBE
∴∠DAB=∠FAD
∵∠AFD=∠BDE=90°
∴△BDE∽△AFD
∴
（2）②解：连接OC，交AD于G
由①，设BE=2x，则AD=3x
∵△BDE∽△ABE∴
∴
解得：x₁=2，（不合题意，舍去）
∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8
∴AB=，∠1=30°
∴∠2=∠3=∠1=30°，∴∠COD=2∠3=60°
∴∠OGD=90°=∠AGC，∴AG=DG
∴△ACG≌△DOG，∴S_△AGC=S_△DGO
∴S_阴影=S_扇形COD=
分析：（1）作辅助线，连接OD．根据切线的判定定理，只需证DF⊥OD即可；
（2）①连接BD．根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的对应边成比例求得；
②连接OC，交AD于G．由①，设BE=2x，则AD=3x．利用①中的△BDE∽△ABE的对应边成比例的性质求得，据此列出关于x的方程，解方程求得x=2，继而可以求出AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8；然后由勾股定理知AB=4，在直角三角形ABE中求得∠1=30°；再由三角形的角平分线的性质、等腰三角形的性质及边角关系求得AG=DG，所以△ACG≌△DOG；最后根据两个全等三角形的面积相等的性质求扇形的面积即可．
点评：本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及扇形面积的计算．比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．