Question

如图所示，抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．以AB为直径作⊙M，过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，并与⊙M的切线AE相交于点E，连接DM并延长交⊙M于点N，连接AN、AD．
（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
（2）若四边形EAMD的面积为，求直线PD的函数关系式；
（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）因为抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，
设抛物线的函数关系式为：y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
所以，抛物线的函数关系式为：y=x²-2x-3，
又∵y=（x-1）²-4，
因此，抛物线的顶点坐标为（1，-4）；

（2）连接EM，∵EA、ED是⊙M的两条切线，
∴EA=ED，EA⊥AM，ED⊥MD，
∴△EAM≌△EDM（HL），
又∵四边形EAMD的面积为，
∴S_△EAM=2，
∴AM•AE=2，
又∵AM=2，
∴AE=2，
因此，点E的坐标为E₁（-1，2）或E₂（-1，-2），
当E点在第二象限时，切点D在第一象限，
在直角三角形EAM中，tan∠EMA===，
∴∠EMA=60°，
∴∠DMB=60°，
过切点D作DF⊥AB，垂足为点F，
∴MF=1，DF=，
因此，切点D的坐标为（2，），
设直线PD的函数关系式为y=kx+b，
将E（-1，2），D（2，）的坐标代入得，
解之，得：，
所以，直线PD的函数关系式为，
当E点在第三象限时，切点D在第四象限，
同理可求：切点D坐标为（2，-），
直线PD的函数关系式为，
因此，直线PD的函数关系式为或；

（3）若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积，
又∵S_{四边形EAMD}=2S_△EAM，S_△DAN=2S_△AMD，
∴S_△AMD=S_△EAM，
∴E、D两点到x轴的距离相等，
∵PD与⊙M相切，
∴点D与点E在x轴同侧，
∴切线PD与x轴平行，
此时切线PD的函数关系式为y=2或y=-2，
当y=2时，由y=x²-2x-3得，x=1±；
当y=-2时，由y=x²-2x-3得，x=1±，
故满足条件的点P的位置有4个，分别是P₁（1+，2）、P₂（1-，2）、P₃（1+，-2）、P₄（1-，-2）．
说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考本标准给出相应分数．
分析：（1）根据A、B、C的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可用配方法求出其顶点坐标；
（2）连接EM，过D作DF⊥x轴于F；由于ED、EA都是⊙O的切线，根据切线长定理可得EA=ED，易证得△EAM≌△EDM则它们的面积相等，由此可得到S_△EAM=2，即可求出EA的长，也就得到了E点的坐标；在Rt△EAM中，根据EA、AM的值，即可求出∠EMA的度数，进而可求出∠DMF的度数，从而在Rt△DMF中，通过解直角三角形求出MF、DF的长，由此求得D点坐标，用待定系数法即可求出直线DP的解析式；（需注意的是AE的长为正值，但是E点的纵坐标有正负两种情况，所以要分类讨论）
（3）在△DAN中，由于DN是⊙M的直径，所以DM=MN，则△DAM和△MAN等底同高，所以面积相等，即△DAN的面积是△DAM的2倍；在（2）题中已经求出四边形EAMD的面积是△EAM的2倍，若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积，则△DAM、△EAM的面积相等，这两个三角形共用底边AM，所以它们的高相同，由此可证得PD与x轴平行，即PD的解析式为y=±2，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、切线长定理、全等三角形的判定和性质、图形面积的求法等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，综合性强，难度较大．