Question

（2012•聊城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是

BC

上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；
（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．

Answer 1

分析：（1）根据当点P是

BC

的中点时，得出

PBA

=

PCA

，得出PA是○O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；
（2）利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的长．

解答：解：（1）当点P是

BC

的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
又∵

PB

=

PC

，
∴

PBA

=

PCA

，
∴PA是⊙O的直径，
∵

PB

=

PC

，
∴∠1=∠2，
又AB=AC，
∴PA⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥PA，
∴DP是⊙O的切线．

（2）连接OB，设PA交BC于点E．
由垂径定理，得BE=

1

2

BC=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：
AE=

AB2-BE2

=

102-62

=8，
设⊙O的半径为r，则OE=8-r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：
r²=6²+（8-r）²，
解得r=

25

4

，
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D，
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP，
∴

BE

DP

=

AE

AP

，即

6

DP

=

8

2× 25 4

，
解得：DP=

75

8

．

点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质，根据已知得出△ABE∽△ADP是解题关键．