Question

已知如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，AP=______，点Q到AC的距离是______；
（2）在运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）当t=2时，CP=2，则AP=1，根据勾股定理求得BC，再由三角形相似得出点Q到AC的距离；
（2）作QF⊥AC于点F，则△AQF∽△ABC，得出，又AQ=CP=t，则AP=3-t，则得出S与t的函数关系式S=-t²+t；
（3）能．①当DE∥QB时，则四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，得=，即求得t，
②当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形，由△AQP∽△ABC，得=，解得t．
解答：解：（1）∵t=2，∴CP=2，
∵AC=3，∴AP=1，
∵∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=4，
设点Q到AC的距离是h，
∴=，
∴h=．（2分）
故答案为1；；

（2）如图1，作QF⊥AC于点F．
∴△AQF∽△ABC，
∴，（3分）
又AQ=CP=t，∴AP=3-t，BC==4，
∴=，
∴QF=t，
∴S=（3-t）•t，
即S=-t²+t；（4分）

（3）能．
①如图2，当DE∥QB时．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP=90°．（5分）
由△APQ∽△ABC，得=，
∴=，
解得t=；（6分）
②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．（7分）
由△AQP∽△ABC，得=，
即=．
解得t=．（8分）
综上，可知当t=或时，四边形QBED能成为直角梯形．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，是中考压轴题，难度不大．