Question

已知抛物线．
【小题1】求抛物线顶点M的坐标；
【小题2】若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
【小题3】在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】∵抛物线∴顶点M的坐标为．
【小题2】抛物线与与x轴的两交点为A(-1,0) ，B（2，0）．
设线段BM所在直线的解析式为．
∴解得 ∴线段BM所在直线的解析式为．  
设点N的坐标为．∵点N在线段BM上，∴. ∴．
∴S_{四边形NQAC}＝S_△AOC＋S_梯形OQNC．
∴S与t之间的函数关系式为，自变量t的取值范围为．
【小题3】假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则且．
，，．
分以下几种情况讨论：
①若∠PAC＝90°，则．∴
解得，．∵．∴．∴．         
②若∠PCA＝90°，则．∴
解得，．∵，∴．∴．
当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．
∴存在符合条件的点P，且坐标为，．

解析