Question

已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG²=GC•GD．

Answer 1

证明：延长GP至F，使PF=PG，连接AD，BF，CF，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GP，BP=PC，
∵PF=PG，
∴四边形GBFC是平行四边形，
∴GF=2GP，
∴AG=GF，
∵BG∥CF，
∴∠1=∠2
∵过A、G的圆与BG切于G，
∴∠3=∠D，
又∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠D，
∴A、D、F、C四点共圆，
∴GA、GF=GC•GD，
即GA²=GC•GD．
分析：构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA²=GC•GD．
点评：本题综合考查了圆中重要定理，结合图形，熟记并灵活应用定理是正确解题的基础，而通过倍长中线，构造平行四边形是解题的关键．