Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c和直线y=x+2都经过A、B两点，且点A在y轴上，点B的纵坐标为5，抛物线的顶点为C．
（1）求抛物线的表达式，并写出顶点C的坐标；
（2）若E、F是x轴正半轴上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF=2，求四边形AEFB周长的最小值及此时点E的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与直线AB相交于点M，点B关于直线MC的对称点为B'，点P是以M为圆心，MC为半径的圆上的一个动点，请你直接写出BP+

2

B′P的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据题意求得点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（3，5）．把点A、B的坐标分别代入函数解析式，利用方程组来求b、c的值；根据所求得的函数解析式来求顶点C的坐标；
（2）AB、EF的长为定值，当四边形AEFB的周长最小时，AE+BF的值最小．
如图，作点A关于x轴的对称点A'，连结A'E，作BH⊥y轴，垂足为点H，在BH上截取BD=2，连结DE．构建?BDEF，则BF=DE．当点E在直线A'D上时，A'E+DE=A′D=

A′H2+HD2

=

72+12

=5

2

．则四边形AEFB周长的最小值=A′D+AB+EF=2+8

2

．此时

OE

HD

=

A′O

A′H

，所以OE=

HD•A′O

A′H

=

2

7

．
（3）根据A、B的坐标求出AM、BM的长，再求出点M的坐标，从而得到⊙M的半径为2，取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，然后利用两边对应成比例夹角相等两三角形相似求出△MNP和△MPB相似，再根据相似三角形对应边成比例求出2PN=

2

′P，然后根据三角形任意两边之和大于第三边判断出Q、N、B′三点共线时BP+

2

B′P最小，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：（1）将x=0代入y=x+2，得y=2，
∴点A的坐标为（0，2）．
将y=5代入y=x+2，得x=3，
∴点B的坐标为（3，5）．
∵抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点，
∴

c=2 9+3b+c=5

，
解得

b=-2 c=2

．
∴抛物线的表达式为y=x²-2x+2．
∵y=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴顶点C的坐标为（1，1）．

（2）∵AB、EF的长为定值，
∴当四边形AEFB的周长最小时，AE+BF的值最小．
如图，作点A关于x轴的对称点A'，连结A'E，则AE=A'E．
作BH⊥y轴，垂足为点H，在BH上截取BD=2，连结DE．
易证四边形BDEF是平行四边形，则BF=DE．
∴AE+BF=A'E+DE．
当点E在直线A'D上时，A'E+DE的值最小．
∴AE+BF的最小值为A'D，A′D=

A′H2+HD2

=

72+12

=5

2

．
又∵AB=

AH2+BH2

=

32+32

=3

2

，EF=2，
∴四边形AEFB周长的最小值=A′D+AB+EF=2+8

2

．
此时∵OE∥HD，
∴

OE

HD

=

A′O

A′H

，
∴OE=

HD•A′O

A′H

=

2

7

．
∴点E的坐标为（

2

7

，0）；

（3）BP+

2

B′P的最小值为2+2

2

．
理由如下：如图2，∵A（0，2），B（3，5），
∴直线AB的解析式为：y=x+2．
∵顶点C的坐标为（1，1），
∴M（1，3）
∴AM=

2

，MC=2，
∴圆M的半径为2．
取MB的中点N，连接PB、PN、PB′，
则MN=

1

2

MB=

2

，B′M=BM，
∵

MN

PM

=

PM

B′M

=

2

2

，∠PMN=∠B′MP，
∴△MNP∽△MPB′，
∴

PN

B′P

=

MN

MP

=

2

2

，
∴

2

B′P=2PN．
由三角形三边关系，当P、N、B′三点共线时BP+

2

B′P最小，
此时点P是直线BB′与圆M的切点．则
BP+

2

B′P最小值=BP+2PN=BP+BM=2+2

2

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数解析式的转化，联立两函数解析式求交点坐标，勾股定理的应用，三角形的面积的求解，相似三角形的判定与性质，本题难点在于（3），作辅助线构造出相似三角形并得到与

2

B′P相等的线段是解题的难点，也是关键．