Question

如图，已知抛物线y=-x²+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B。
（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值。

Answer 1

解：（1）令y=0，得，即， 解得， 所以， 令x=0，得，所以， 设直线AB的解析式为，则，解得， 所以直线AB的解析式为；
（2）当点在直线AB上时，，解得x=2， 当点在直线AB上时，，解得， 所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则；
（3）当点在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上）， 解得， ①当时，直线AB分别与PE、PF有交点， 设交点分别为C、D， 此时， 又， 所以， 从而， 因为，所以当时，， ②当时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N， 此时，，又， 所以，即， 其中当时，， 综合①②得，当时，。