Question

如图，在正方形ABCD中，E是正方形内一点，F是正方形外一点，且∠EDC=∠FBC，EC⊥CF．
（1）求证：EC=FC；
（2）当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求tan∠FBE的值．

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，CD=CB，∠DCE+∠BCE=∠BCD=90°，
∵EC⊥CF，
∴∠BCF+∠BCE=90°，
∴∠BCF=∠DCE，
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（ASA），
∴EC=FC；

（2）解：如图，连接EF，∵EC⊥CF，EC=FC，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠BEC=135°，
∴∠BEF=∠BEC-∠CEF=135°-45°=90°，
∵BE：CE=1：2，
∴设BE=k，CE=2k，
则EF=CE=2k，
在Rt△BEF中，tan∠FBE===2．
分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得CD=CB，根据同角的余角相等可得∠BCF=∠DCE，然后利用“角边角”证明△BCF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等可得EC=FC；
（2）连接EF，先判定△ECF是等腰直角三角形，求出∠CEF=45°，然后求出∠BEF=90°，根据比例设BE=k，CE=2k，根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍求出EF，然后根据正切的定义解答即可．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．