Question

（2013•朝阳区二模）已知关于x的一元二次方程x²+（4-m）x+1-m=0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x²+（4-m）x+1-m向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值．

Answer 1

分析：（1）由△=（4-m）²-4（1-m）=（m-2）²+8，可得△＞0，即可证得：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）首先将x=-3代入原抛物线解析式，即可求得m的值，继而求得新的抛物线，又由直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点，可求得b的值．

解答：（1）证明：∵△=（4-m）²-4（1-m）
=m²-4m+12
=（m-2）²+8，
∴△＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．

（2）把x=-3代入x²+（4-m）x+1-m=0，
得：9-3（4-m）+1-m=0，
解得m=1，
∴y=x²+3x．
即y=（x+

3

2

）²-

9

4

．
依题意，可知新的抛物线的解析式为y′=（x-

3

2

）²-

9

4

．
即y'=x²-3x，
∵抛物线y'与直线y=x+b只有一个公共点，
∴x²-3x=x+b，
即x²-4x-b=0．
∵△=0．
∴（-4）²-4×（-b）=0．
解得：b=-4．

点评：此题考查了抛物线与x轴以及与直线的交点问题．此题难度适中，注意掌握判别式的应用．