Question

如图，已知在⊙O中，∠ABD=∠CDB．
（1）求证：AB=CD；
（2）顺次连接ACBD四点，猜想得到的四边形是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．

Answer 1

（1）证明：∵∠ABD=∠CDB，
∴弧AD=弧BC，
∴弧AD+弧AC=弧BC+弧AC，
∴弧AB=弧CD，
∴AB=CD；

（2）四边形ACBD是等腰梯形．理由如下：
如图，连AC，CB，AD，
∵弧AD=弧BC，
∴AD=CB，∠1=∠2，
∴AC∥BD，且AC≠BD，
∴四边形ACBD是等腰梯形．
分析：（1）由∠ABD=∠CDB，根据圆周角定理得到弧AD=弧BC，则弧AB=弧CD，由此得到AB=CD．
（2）连AC，CB，AD，由弧AD=弧BC，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到AD=CB，∠1=∠2，得到AC∥BD，且AC≠BD，因此四边形ACBD是等腰梯形．
点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了等腰梯形的判定．