Question

如图，在直角坐标系中，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，其中x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的两个根，且x₁＜x₂，连接MC，过A、B、C三点的抛物线的顶点为N．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）判断直线NA与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）一动点P从点C出发，以每秒1个单位长的速度沿CM向点M运动，同时，一动点Q从点B出发，沿射线BA以每秒4个单位长度的速度运动，当P运动到M点时，两动点同时停止运动，当时间t为何值时，以Q、O、C为顶点的三角形与△PCO相似？

Answer 1

分析：（1）先解方程x²-10x+16=0求出两根，确定A、B两点的坐标，再连接AM，过点M作MD⊥AB于D，由垂径定理得AD=

1

2

AB=3，D点的坐标为（5，0），则⊙M的半径为5，然后在直角△AMD中，运用勾股定理求出MD的长，得到点C的坐标，最后运用待定系数法即可求出过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）先根据抛物线的解析式求出顶点N的坐标，再分别计算AN、MN，在△AMN中由勾股定理的逆定理可得∠MAN=90°，然后根据切线的判定定理即可判断直线NA与⊙M相切；
（3）由于0＜t≤5，又t=2时，点Q运动到原点，此时以Q、O、C为顶点的三角形不存在，所以分两种情况讨论：①0＜t＜2，即点Q在x轴正半轴上；②2＜t≤5，即点Q在x轴负半轴上．又因为以Q、O、C为顶点的三角形与△PCO都是直角三角形，则直角顶点O与C对应，每一种情况又分为两种：（Ⅰ）△QOC∽△PCO；（Ⅱ）△QOC∽△OCP．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0，得x₁=2，x₂=8，
∴A（2，0），B（8，0）．
连接AM，过点M作MD⊥AB于D，由垂径定理得AD=

1

2

AB=3，
∴OD=OA+AD=2+3=5，
∴D点的坐标为（5，0）．
∵⊙M与y轴相切于点C，
∴⊙M的半径AM=CM=OD=5．
在直角△AMD中，∵∠ADM=90°，
∴MD=

AM2-AD2

=4，
∴点C的坐标为（0，4），点M的坐标为（5，4）．
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-8），
将点C的坐标（0，4）代入，得4=16a，
解得a=

1

4

，
∴y=

1

4

（x-2）（x-8）=

1

4

x²-

5

2

x+4．
故所求抛物线的解析式为y=

1

4

x²-

5

2

x+4；

（2）直线NA与⊙M相切，理由如下：
连接MN．
∵y=

1

4

x²-

5

2

x+4=y=

1

4

（x²-10x）+4=

1

4

（x-5）²-

9

4

，
∴顶点N的坐标为（5，-

9

4

）．
∵AN²=（5-2）²+（-

9

4

）²=9+

81

16

=

225

16

，
AM²=5²=25，
MN²=（4+

9

4

）²=（

25

4

）²=

625

16

，
∴AN²+AM²=MN²，
∴∠MAN=90°，
又∵点A在⊙M上，
∴直线NA与⊙M相切；

（3）分两种情况：
①当0＜t＜2，即点Q在x轴正半轴上时，
CP=t，BQ=4t，OQ=OB-BQ=8-4t．
若△QOC∽△PCO，则OQ：CP=OC：CO，
∵OC=CO，
∴OQ=CP，
∴8-4t=t，
解得t=

8

5

；
若△QOC∽△OCP，则OQ：CO=OC：CP，
即（8-4t）：4=4：t，
整理t²-2t+4=0，
∵△=4-16＜0，
∴原方程无解；
②当2＜t≤5，即点Q在x轴负半轴上时，
CP=t，BQ=4t，OQ=BQ-OB=4t-8．
若△QOC∽△PCO，则OQ：CP=OC：CO，
∵OC=CO，∴OQ=CP，
∴4t-8=t，
解得t=

8

3

；
若△QOC∽△OCP，则OQ：CO=OC：CP，
即（4t-8）：4=4：t，
整理t²-2t-4=0，
解得t=1±

5

（负值舍去）．
综上可知，当t为

8

5

秒

8

3

秒或（1+

5

）秒时，以Q、O、C为顶点的三角形与△PCO相似．

点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一元二次方程的解法，垂径定理，勾股定理及其逆定理，运用待定系数法求二次函数的解析式，切线的判定，相似三角形的判定．在求有关动点问题时要注意分情况讨论，这是解题的关键．