Question

（2012•门头沟区一模）已知：关于x的一元二次方程x²-（1+2k）x+k²-2=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为负整数时，抛物线y=x²-（1+2k）x+k²-2与x轴的交点是整数点，求抛物线的解析式；
（3）若（2）中的抛物线与y轴交于点A，过A作x轴的平行线与抛物线交于点B，连接OB，将抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线的顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程有两个实数根，求出根的判别式，即可求出k的取值范围；
（2）根据（1）中求出的k的取值范围，分别讨论k=-2，k=-1时的情况，求出抛物线的解析式；
（3）由题意得，A（0，2），B（-3，2），设OB的解析式为y=mx+2，

解答：解：（1）由题意得，（1+2k）²-4（k²-2）≥0，
解得，k≥-

9

4

K的取值范围是k≥-

9

4

．

（2）k为负整数，k=-2，-1．
当k=-2时，y=x²+3x+2与x轴的两个交点是（-1，0）（-2，0）是整数点，符合题意，
当k=-1时，y=x²+x-1与x轴的交点不是整数点，不符合题意，
抛物线的解析式是y=x²+3x+2．

（3）由题意得，A（0，2），B（-3，2）
设OB的解析式为y=mx+2，解得m=-

2

3

OB的解析式为y=-

2

3

x，y=x²+3x+2的顶点坐标是（-

3

2

，-

1

4

）
OB与抛物线对称轴的交点坐标（-

3

2

，1），
直线AB与抛物线对称轴的交点坐标是（-

3

2

，2），
由图象可知，n的取值范围是

5

4

＜n＜

9

4

，

点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和函数图象平移的知识，此题数形结合比较方便．