Question

（2004•郑州）如图，在△ABC中，AD、CE是两条高，连接DE．如果BE=2，EA=3，CE=4，在不添加任何辅助线和字母的条件下，写出三个正确的结论（要求：分别为边的关系、角的关系、三角形相似等），并对其中一个结论给予证明．

Answer 1

【答案】分析：在Rt△AEC中，由勾股定理知，AC²=AE²+CE²，解得AC=5，所以AC=AB=5，∠ACB=∠B；因为AD、CE是两条高，所以∠AEC=∠ADC=90°，即点A、C、D、E是在以AC为直径的圆上，根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角知，有∠DEB=∠ACB，∠BDE=∠BAC，得△BED∽△BCA．
解答：解：有AC=AB=5，∠CAB=∠B，△BED∽△BCA．
证明：在Rt△AEC中，由勾股定理知，AC²=AE²+CE²，解得AC=5，
∴AC=AB=5，∠ACB=∠B．
又∵AD、CE是两条高，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∴点A、C、D、E是在以AC为直径的圆上，
∴∠DEB=∠ACB，∠BDE=∠BAC，
∴△BED∽△BCA．
点评：本题的答案不唯一．利用了等边对等角，四点共圆的判定，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质求解．