Question

（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；
（2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
（3）用你发现的结论解决下列问题：
如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数．

Answer 1

分析：（1）根据四边形的内角和等于360°用∠5+∠6表示出∠3+∠4，再根据平角的定义用∠5+∠6表示出∠1+∠2，即可得解；
（2）从外角的定义考虑解答；
（3）根据（1）的结论求出∠MDA+∠NAD，再根据角平分线的定义求出∠ADE+∠DAE，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．

解答：（1）解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，
∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°，
∴∠3+∠4=360°-（∠5+∠6），
∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，
∴∠1+∠2=360°-（∠5+∠6），
∴∠1+∠2=∠3+∠4；

（2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；

（3）解：∵∠B+∠C=240°，
∴∠MDA+∠NAD=240°，
∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，
∴∠ADE=

1

2

∠MDA，∠DAE=

1

2

∠NAD，
∴∠ADE+∠DAE=

1

2

（∠MDA+∠NAD）=

1

2

×240°=120°，
∴∠E=180°-（∠ADE+∠DAE）=180°-120°=60°．

点评：本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．