Question

3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，点F在BC的延长线上，且∠CEF=∠A．求证：DE=CF．

Answer 1

分析 根据等角的余角相等得∠B=∠F，根据三角形中位线定理得：DE∥BC，得∠ADE=∠F和AE=CE，证明△ADE≌△EFC，根据对应边相等得出结论．

解答 证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠CEF+∠F=90°，
∵∠CEF=∠A，
∴∠B=∠F，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，AE=CE，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠F，
∴△ADE≌△EFC，
∴DE=CF．

点评 本题是考查了三角形的中位线定理和三角形全等的性质，明确三角形的中位线定义，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；三角形的中位线定理得出的结论为证明两三角形全等创造了条件．