Question

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径作⊙C．若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是$\frac{12}{5}$＜r≤3．

Answer 1

分析 作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC＞BC，可得以C为圆心，r=4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有两个公共点，即可得出r的取值范围．

解答 解：作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
即圆心C到AB的距离d=$\frac{12}{5}$，
∵AC＜BC，
∴以C为圆心，r=4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是$\frac{12}{5}$＜r≤3．
故答案为：$\frac{12}{5}$＜r≤3．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．