Question

如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=12cm．点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤12）．
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积；
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 1

考点：矩形的性质,等腰直角三角形,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由题意，AP=AQ时△QAP为等腰直角三角形，得出2t=12-t，即可解得t的值；
（2）根据S=S_△AQC+S_△APC，即可求得；
（3）有两种情况，分别讨论求得．

解答：解：（1）由题意得，AP=AQ时△QAP为等腰直角三角形，
即2t=12-t，
解得t=4．
所以当t为4时，△QAP为等腰直角三角形；
（2）∵S=S_△AQC+S_△APC，
∴S=

1

2

AQ•CD+

1

2

AP•BC=

1

2

（12-t）×24+

1

2

×2t×12=144cm²；
所以四边形QAPC的面积为144cm²．
（3）有两种情况：
①当△QAP∽△ABC时，

QA

AP

=

AB

BC

，
即

12-t

2t

=2，解得，t=

12

5

，
②当△PAQ∽△ABC时，

AP

QA

=

AB

BC

，
即

2t

12-t

=2，解得，t=6，
所以当t为

12

5

或6时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是本题的关键．