Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得：OC=4，OD=2，∴DM=OC+OD=6。
∴顶点M坐标为（2，6）。
设抛物线解析式为：y=a（x﹣2）²+6，
∵点C（0，4）在抛物线上，∴4=4a+6，解得a=。
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣2）²+6=x²+2x+4。
（2）如答图1，过点P作PE⊥x轴于点E．

∵P（x，y），且点P在第一象限，∴PE=y，OE=x。
∴DE=OE﹣OD=x﹣2．
∴S=S_梯形PEOC﹣S_△COD﹣S_△PDE=（4+y）•x﹣×2×4﹣（x﹣2）•y=y+2x﹣4。
将y=x²+2x+4代入上式得：S=x²+2x+4+2x﹣4=x²+4x。
在抛物线解析式y=x²+2x+4中，令y=0，即x²+2x+4=0，解得x=2±．
设抛物线与x轴交于点A、B，则B（2+，0）。
∴0＜x＜2+．
∴S关于x的函数关系式为：S=x²+4x（0＜x＜2+）。
（3）存在。若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，可能有以下情形：
①OD=OP。
由图象可知，OP最小值为4，即OP≠OD，故此种情形不存在。
②OD=OE。
若点E在y轴正半轴上，如答图2所示，此时△OPD≌△OPE。

∴∠OPD=∠OPE，即点P在第一象限的角平分线上。
∴直线PE的解析式为：y=x。
若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在。
③OD=PE。
∵OD=2，∴第一象限内对称轴右侧的点到y轴的距离均大于2。
∴点P只能位于对称轴左侧或与顶点M重合。
若点P位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知△OPE为钝角三角形，而△OPD为锐角三角形，则不可能全等。
若点P与点M重合，如答图3所示，此时△OPD≌OPE，四边形PDOE为矩形。

∴直线PE的解析式为：y=6。
综上所述，存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，直线PE的解析式为y=x或y=6。

试题分析：（1）首先求出点M的坐标，然后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）如答图1所示，作辅助线构造梯形，利用S=S_梯形PEOC﹣S_△COD﹣S_△PDE求出S关于x的表达式；求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，得到自变量的取值范围。
（3）由于三角形的各边，只有OD=2是确定长度的，因此可以以OD为基准进行分类讨论：
①OD=OP，因为第一象限内点P到原点的距离均大于4，因此OP≠OD，此种情形排除。
②OD=OE．分析可知，只有如答图2所示的情形成立。
③OD=PE．分析可知，只有如答图3所示的情形成立。